Bem, depois de mais algumas pesquisas sobre o assunto, notei que o problema com essa configuração era que o local / api não estava se conectando ao http://127.0.0.1:1234/
que estava tentando se conectar ao http://127.0.0.1:1234/api
e o mesmo com o Jenkins.
Portanto, a solução está adicionando barras finais à localização e ao proxy_pass.
location /api/ {
proxy_pass http://127.0.0.1:1234/;
....
location /jenkins/ {
proxy_pass http://localhost:8080/;
proxy_read_timeout 90;
....
Então isso foi o truque.