Se é uma instância ec2 normal (em vez de RDS), você tem acesso à linha de comando.
Pode apenas usar links simbólicos para mapear partes da pasta de dados em outro lugar. Por exemplo. Encerre o servidor MySQL
cd /var/lib/MySQL
mv bigdata /mnt/new/bigdata
ln -s /mnt/new/bigdata
E inicie o MySQL novamente. O banco de dados bigdata agora está sendo executado em outra partição.
Claro que isso é mais adequado para tabelas myisam. Se innodb, em seguida, vai precisar mexer com espaços de tabela para obter arquivos separados, então pode mover alguns deles