Como apontado por Michael Hampton, o problema é que você está ficando sem inodes para essa partição.
Algumas soluções existem:
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Libere alguns deles, cabe a você escolher quais arquivos podem ser movidos / excluídos, dependendo da importância deles.
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Se você não puder mover / excluir arquivos e estiver usando o LVM, tente expandir o tamanho do volume lógico: ele aumentará a quantidade de inodes disponíveis.
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Se você não pode mover / excluir arquivos e a expansão do LVM acontecer com frequência, pense em migrar para um sistema de arquivos que aloca dinamicamente inodes como o XFS, mas lembre-se de que isso pode levar à fragmentação.