Parece que você pode ter mais de um problema aqui. Você pode ter que dividir isso em problemas menores que são mais fáceis de resolver.
As permissões podem ser uma coisa que está causando um problema aqui. Supondo que as mesmas políticas de grupo se aplicam a usuários que são membros do grupo Administradores e aqueles que não são, isso pode explicar a diferença de comportamento.
Obter um relatório baseado em gpresult / H para usuários afetados e não afetados mostrará o que acontece se qualquer política de grupo controlar o comportamento da área de trabalho e se o redirecionamento de pasta para a área de trabalho estiver configurado.
Eu também não tenho certeza se você estava tentando mover ícones da área de trabalho para a área de trabalho? A origem e o destino parecem ser os mesmos em suas explicações.
Consulte o blog link para obter mais ideias sobre solução de problemas. link é um bom link que é aplicável aqui.