Existem muitas soluções para coletar / monitorar logs.
Algumas delas: syslog, syslog-ng, logsurfer, splunk ... e eu acho muito mais. Mas eu recomendo o syslog-ng.
É muito configurável (por exemplo, ele pode armazenar logs em bancos de dados que às vezes são muito úteis), elásticos e fazer tudo o que você quiser.
Com o syslog-ng e o MongoDB, você pode fazer coisas divertidas usando a mojologia (Um aplicativo simples para procurar mensagens syslog armazenadas no MongoDB, como registradas pelo syslog-ng).
Você pode usar qualquer um desses softwares.
O Zabbix pode coletar logs, mas é muito mais difícil configurar o que você deseja.
O syslog não é uma má idéia, mas o sysylog-ng tem muito mais recursos. Aqui está a comparação entre o syslog e o syslog-ng link
Então eu escolheria syslog-ng :)