2 problemas a considerar para o correio de entrada para o novo servidor do Exchange:
Registros MX de DNS
Os registros MX do DNS são responsáveis por controlar para onde vai o email do seu domínio. Quando outros hosts na Internet precisarem enviar e-mails para usuários em seu domínio, eles procurarão os registros MX publicados para esse domínio e listarão um ou mais hosts que aceitarão esse e-mail. Para encaminhar o email para você, você precisa apenas configurar um registro MX que aponte para o nome do host do seu servidor e, em seguida, precisa ter um registro A acompanhante para esse nome de host que aponta para o endereço IP externo de seus servidores Exchange. Isso vai desviar o email para o seu servidor. Observe que, depois de fazer a alteração, você começará a receber alguns e-mails muito rapidamente, mas alguns hosts na Internet não verão as alterações no DNS por até 48 horas, portanto, alguns e-mails provavelmente ainda chegarão ao ambiente antigo. Você pode reduzir o impacto desse efeito alterando o TTL do seu DNS para 5 minutos com alguns dias de antecedência, mas parece que você não tem esse luxo.
Você pode fazer o que os outros sugeriram e "sugar" o e-mail do host antigo para o novo servidor do Exchange por meio de um conector POP, mas na verdade é um hack ruim e não um que eu recomende a longo prazo. Em algum momento, é melhor apontar seu MX para sua própria caixa.
Trocar
Existem duas coisas para analisar no Exchange. A primeira é que, para o Exchange receber mensagens para um domínio específico, esse domínio deve ser adicionado a uma política de destinatário. Faça isso primeiro. Segundo, você precisa adicionar os endereços de e-mail às caixas de correio criadas para que os usuários recebam e-mails em suas caixas de correio.
Esta é uma visão geral de alto nível. Você deve ler cada um desses componentes para aprender mais sobre eles. Eu não posso te dar mais detalhes sem escrever um livro aqui. Se você realmente for gerenciar seu próprio servidor de e-mail, terá que aprender sobre essas coisas ou estará colocando o e-mail de sua empresa em risco. Francamente, não parece que você é tecnicamente strong o suficiente para hospedar seu próprio servidor de email. Conhecer seus limites é importante! Você pode absolutamente fazer isso - só precisa aprender um pouco mais.