Sim, você pode instruir o kernel Linux a usar IPs diferentes para o tráfego de saída. Isto é conseguido através do uso do pacote iproute2. Existe um argumento 'src' para o comando 'ip route' que especifica qual endereço IP deve ser usado para o roteamento da rota específica. Portanto, você pode alterar o endereço IP de origem da sua rota padrão, por exemplo:
ip route replace default via <your_gateway> src <your_alternate_IP_here> dev eth0