Ryan na AWS disse: "É preciso haver uma URL acessível publicamente que o Elastic Beanstalk possa alcançar para que o ambiente permaneça verde. Isso é chamado de URL de verificação de integridade e deve retornar um status HTTP 200".
Como resultado, criei uma URL de verificação de integridade separada em um subdiretório que tinha a autenticação desativada e apontei a verificação de integridade do Beanstalk para essa nova URL (configure a guia Load Balancer do ambiente). O site do Elastic Beanstalk agora é VERDE.