Se você não estiver usando o INNODB ou o innodb_file_per_table, basta parar o servidor de banco de dados, mover a pasta do banco de dados para qualquer local desejado e criar um link simbólico para o novo local a partir da pasta mysql. O Mysql ainda precisará de acesso aos arquivos, então você não pode simplesmente mudar as permissões para que o usuário em particular possua o diretório / arquivos. Por favor, teste primeiro com dados de teste.