Parece que você está inicializando no nível de usuário único, sem rede e à prova de falhas.
Para corrigir seus problemas de DNS, apenas:
echo "nameserver 8.8.8.8" > /etc/resolv.conf
Então, pelo menos a partir dessa sessão, você poderá fazer ping pelos hosts. Assumindo 8.8.8.8 é ping-capaz (como você afirmou) e que é um dos servidores DNS gratuitos do google.
Desta forma, enquanto você tem servidores DNS configurados, não é garantido que o apt-get funcionará. Como uma inicialização à prova de falhas, as partições podem ter sido montadas como somente leitura ou não serem montadas.
Se você não pode criar / editar /etc/resolv.conf porque o sistema de arquivos é montado como somente leitura, como root, você pode consertar isso (assumindo que o sistema de arquivos pode ser montado read-write - ou seja, não é uma limitação de hardware) com:
mount -o remount,rw /
Em seguida, faça o comando novamente para definir o servidor de nomes. Assumindo que / etc é um diretório sob a partição montada em / , e nenhuma partição dedicada para / etc .
Para adicionar outro servidor DNS (anexar) ao arquivo:
echo "nameserver 8.8.4.4" >> /etc/resolv.conf