Consegui finalmente descobrir uma solução. O problema parece ter sido com o arquivo .Xauthority. O proprietário do arquivo era root (veja abaixo).
-rw------- 1 root root 124 May 13 18:19 .Xauthority
-rw------- 2 ubuntu ubuntu 0 May 14 19:56 .Xauthority-c
-rw------- 2 ubuntu ubuntu 0 May 14 19:56 .Xauthority-l
Eu tentei apagar o arquivo e reiniciar o xauth e o ssh, mas isso não funcionou, então eu removi o xauth totalmente usando o sudo apt-get purge xauth. Em seguida, apaguei todos os arquivos .Xauthority do meu diretório pessoal. Então eu reinstalei o xauth, novamente usando o sudo apt-get install xauth. O novo arquivo .Xauthority era de propriedade do Ubuntu.
-rw------- 1 ubuntu ubuntu 100 May 14 20:27 .Xauthority
Acabei testando o Putty com o local de exibição do X de: localhost.0, assim como: 0.0 mas não pareceu importar, já que ambos funcionavam. Eu então testei com xclock & amp; e finalmente apareceu.