Em resposta à minha própria pergunta, descobri (com a ajuda de Sergey).
Acontece que o SQL Server 2008 Express precisa ser configurado corretamente, além do firewall do Windows, antes que o servidor comece a escutar na Porta 1433.
Consegui resolver meu problema por:
- Abrindo o gerenciador de configuração do SQL Server
- Ir para a configuração de rede para SQLEXPRESS
- Editando "IPALL" do protocolo TCP / IP.
- Definindo os valores das opções para os valores destacados pelo Sergey acima.
Acontece que o problema que eu estava tendo era editar o IP incorreto nessa janela de propriedades. Eu estava tentando editar apenas o IP externo - parece que eu estava enganado ao fazer isso.
Espero que esta solução ajude outras pessoas com problemas semelhantes.
P.S. Não se esqueça de adicionar a regra de entrada ao seu firewall do Windows.
Solucione problemas: Se nenhum deles funcionar, tente adicionar o arquivo .exe chamado: sqlbrowser. normalmente aninhado em:% ProgramFiles% \ Microsoft SQL Server (número de versão do SQL) \ Shared \ SQLBrowser.exe (OY)