O que você fez não está movendo as atualizações baixadas, ele move os pacotes de instalação do cliente. Você precisa mover o armazenamento do WSUS.
Use o wsusutil movecontent comando:
Changes the file system location where the WSUS server stores update files, and optionally copies any update files from the old location to the new location
C:\Program Files\Update Services\Tools\wsusutil.exe movecontent <new content path> <logfile> [-skipcopy]
Em seguida, reinicie o WSUS e o IIS.
Isso deve ser o suficiente. Se você precisar mover o banco de dados do WSUS (não pense assim), o procedimento é muito mais complexo.