Expandir o disco rígido virtual em algumas centenas de shows resolveu totalmente o problema.
De acordo com esta página do TechNet , você deve ter 20% do tamanho do seu banco de dados no espaço livre, eu estava bem abaixo disso. Portanto, é de se esperar que surjam problemas.
No entanto, o comportamento esperado seria que o Exchange primeiro parasse de aceitar emails de entrada, emitisse um erro no log de eventos e, finalmente, quando estivesse com pouco espaço, parasse de aceitar emails de saída de todas as contas ao mesmo tempo e emita outro erro.
Por que ele não fez nada disso e, em vez disso, desligou a capacidade de uma pessoa de enviar e-mails sem emitir um único aviso ou erro .
De qualquer forma, o armazenamento é barato nos dias de hoje, sempre tem uma boa quantidade de espaço livre em seus servidores. Lição aprendida.