Como Daniel diz, você precisa configurar o exim como um smarthost. Isso significa definir um roteador como este ( N.B., O cólon duplo que separa o nome do host e o número da porta ):
send_to_smarthost:
debug_print = "R: smarthost for $local_part@$domain"
driver = manualroute
domains = ! +local_domains
transport = remote_smtp_smarthost
route_list = * smarthost.example.com::26
host_find_failed = defer
no_more
e, em seguida, um transporte que pode estimular a autenticação:
remote_smtp_smarthost:
debug_print = "T: remote_smtp_smarthost for $local_part@$domain"
driver = smtp
hosts_require_auth = smarthost.example.com
Para muitas distribuições, agora você pode colocar sua host:username:password
triplet em /etc/exim/passwd.client
e isso deve funcionar.
Acredito que, em vez de especificar a porta no roteador, você pode usar o comando port
no transporte. Em teoria, ambos devem funcionar.