Quando você executa seus trabalhos agendados como trabalhos do usuário (editando trabalhos com crontab -e ), não especifica o usuário. Se você executar tarefas agendadas do sistema, poderá especificar o usuário.
Coloque essa linha em /etc/crontab ou /etc/cron.d/yourfile usando algum editor como vi ou nano
Ou remova 'root' antes de /home/backup.sh
Outra observação é certificar-se de que você tem todos os seus programas como mysqldump em seu script com caminhos completos ou certifique-se de que eles estejam em seus ambientes de execução de scripts PATH (que é diferente de você PATH).
Veja:
man 5 crontab
EXEMPLO DE ARQUIVO CRON
EXEMPLO DO ARQUIVO DE CRONO DO SISTEMA