Is a router required to set up a network?
Não. Apenas para encaminhar o tráfego entre redes.
Suppose I have just an Ethernet wire and then I fix it up to 3 computers.
Isso é bem difícil de fazer com o cabeamento Ethernet moderno, já que apenas configurações de estrela são suportadas.
Can I then say that these computers are now in a network?
Sim.
If they are in a network now without that router, with just the Ethernet wire alone, how and where is the network IP address and all that subnet mask going to be generated from? It is likely going to be a private address since it is local but who would assign the 3 computers with their own host IP without the router?
Primeiro, o IP não é um requisito de rede. Você pode ter uma rede sem nenhum IP.
Em segundo lugar, muitos nós podem se atribuir endereços IP em um mecanismo projetado especificamente para tornar vários dispositivos conectados por um switch "apenas funcione".
Por fim, os seres humanos podem atribuir endereços IP e máscaras de sub-rede a cada dispositivo. Como alternativa, você pode executar um servidor DHCP em uma das máquinas. Você não precisa de um roteador para atribuir endereços IP.