Você não deseja compartilhar a mesma chave com outra máquina. Não, você não faz, realmente.
Cada chave privada deve ser restrita a um usuário em uma única máquina. Não copie chaves privadas, pois, ao fazer isso, você estará expondo sua chave a um risco maior de ser roubada ou inadvertidamente copiada por meio de canais não confiáveis ou deixada em dispositivos de armazenamento não confiáveis.
O que você deve fazer é gerar um novo par de chaves na nova máquina e depois transmitir sua segunda chave pública para o github. Qualquer serviço baseado em SSH decente que permita o uso de PKI também permite que você armazene várias chaves públicas, o github não é exceção. Dê nomes sugestivos para cada chave (para chaves SSH, eles estão na forma de "username @ hostname") para que você conheça o dispositivo associado a cada chave pública.
Isso traz os benefícios de manter suas chaves privadas seguras e você pode revogar as chaves individualmente quando apenas uma delas é comprometida.