Muito simples.
- Verifique se o servidor escuta os dois endereços.
- Alternar DNS.
- Aguarde 2 a 3 vezes a validade do fuso horário (por segurança)
- Desativar / remover endereços antigos.
Concluído.
Não há necessidade de round robin, etc. - os usuários começarão a usar gradualmente os novos endereços IP quando as entradas de DNS forem alternadas.
Essa também é a maneira (na maioria dos casos sensata) de lidar com isso quando você alterna os datacenters - execute ambos em paralelo e migre lentamente.