Eu acho que os problemas do EC2, S3 e RDS são uma distração no momento, basicamente o RDS é como qualquer instância do mysql e o EC2 é como qualquer VM linux. Parece que você nem está chegando ao ponto de se preocupar com o S3 ainda (embora esse bocado pareça ótimo).
Você deve executar seu script de backup como um usuário não raiz, portanto, mova-o para /home/ec2-user
por enquanto.
Então, você deve executar o cron sob ec2-user - use sudo -u ec2-user crontab -e
para editar o crontab do ec2-user - não vá editar o crontab diretamente em uma distro moderna.
Isso resolverá o problema do backup.gz, mas você também precisará garantir que $MYSQL_USER
@ ec2_ip
seja um usuário válido em sua instância do RDS. Esta resposta pode ser informativa.
Edit: Seu problema mais recente provavelmente significa que você precisa mudar de -u $ MYSQL_USER para -u $ MYSQL_USER por exemplo - e o mesmo para os parâmetros de host e senha.