Graças aos ponteiros fornecidos por Mark Henderson, eu finalmente acertei este. Eu tive que mudar dois objetos no EMS:
Set-WebServicesVirtualDirectory -identity "ourserver\ews (Default Web Site)" '
-InternalUrl https://support.ourdomain.au/EWS/Exchange.asmx '
-ExternalUrl https://support.ourdomain.au/EWS/Exchange.asmx
Set-ClientAccessServer -identity ourserver '
-AutoDiscoverServiceInternalUri https://support.ourdomain.au/Autodiscover/Autodiscover.xml
Também encontrei conselhos para definir o seguinte:
Set-AutodiscoverVirtualDirectory -identity "ourserver\Autodiscover (Default Web Site)" '
-InternalUrl https://support.ourdomain.au/Autodiscover/Autodiscover.xml '
-ExternalUrl https://support.ourdomain.au/Autodiscover/Autodiscover.xml
Mas isso não parece ser necessário em nosso caso (embora eu tenha mudado depois disso de qualquer maneira).