Parece que o DNS não aponta onde você pensa. Isso soa vagamente confirmado pelo comportamento que você descreve quando liga o site a um IP específico.
Se for apenas um grupo de clientes, por exemplo, clientes externos usando DNS externo, as chances são de que suas conexões sejam NATted (traduzidas) de qualquer maneira, e pode ser que a porta externa 80 mapeie de publicname.example.com para um interno endereço não é o que você acha que deveria ser.
Para solucionar o problema adequadamente, pegue uma ferramenta como o Wireshark ou o Network Monitor e capture algum tráfego por algum tempo. Você pode fazer isso a partir do cliente ou do servidor, ou de ambos (os dois simultaneamente oferecem a melhor cobertura possível do que um cliente pensa que está acontecendo e o que o servidor está vendo ao mesmo tempo, dependendo do kit de rede). é sempre a mesma coisa.)
Você verá o endereço IP de origem e destino usado pelos pacotes de entrada e saída.
Se um cliente resolve um nome para um endereço IP, ele se conecta a esse endereço IP. Há pouco espaço para brincar com isso.
Em uma das máquinas clientes com o problema, execute uma rápida PING www.example.com para ver qual é a impressão inicial do endereço IP.