Você não pode fazer nada além de OBTER um arquivo estático. Se você quiser POST, PUT, DELETE, etc, você precisa ter certeza de que você tem um bloco de localização manipulando o URI e que este bloco de localização manipula o pedido de uma forma que permita tais pedidos.
Por exemplo, por proxy_passing para o Apache ou fastcgi_passing para o PHP.
Com a configuração que você forneceu, teoricamente, isso deve ser permitido. Mas você removeu muitas informações e provavelmente tem um bloco de localização para capturar arquivos estáticos. Quando você estiver lidando com locais de regex, o primeiro correspondente será usado, portanto, é necessário certificar-se de que o local de sua API esteja definido antes de qualquer outro local correspondente.