Não se preocupe muito. No CentOS (provavelmente no Ubunto também) quando você faz atualizações / upgrades com o yum, basicamente nenhum serviço é reiniciado. O Apache não é reiniciado quando você faz atualizações / upgrades.
O único serviço que eu lembro, que está reiniciando durante a atualização é o ssh - mas você não perde uma conexão com o servidor.
Reiniciar o serviço após a atualização é uma decisão sua. Se você fizer isso graciosamente, nenhum dado será perdido. Se você planeja reiniciar o mysql, será melhor se você parar o site por alguns segundos. A maioria das pessoas não notará um tempo de inatividade tão curto.
Eu não lembro exatamente o valor, mas acho que por um período de 4-5 segundos o tempo limite não será percebido pelo tcp stack e pelo aplicativo (navegador)