Uma coisa que você pode fazer é ir agora e diminuir o tempo de cache (TTL) dos registros do seu domínio para 10 minutos ou mais. Então, quando você fizer a alteração, o IP antigo deve permanecer por apenas 10 minutos (mais o que quer que tenha sido armazenado em cache antes de você fazer a alteração, se você tivesse um TTL muito longo anteriormente).
Além disso, a única coisa que eu diria é que eu faria assim:
- Coloque o site em funcionamento no novo host usando uma cópia antiga do banco de dados para teste (você pode testar o site usando seu arquivo hosts para definir um IP para o nome do host manualmente)
- (Preferencialmente por volta das 3AM em qualquer fuso horário em que a maioria dos usuários esteja) Coloque a página em construção
- Copie o banco de dados atual para o novo host e teste.
- Atualizar DNS.
Isso minimiza o tempo de inatividade e o risco de surpresas.