Se o seu servidor dedicado for o servidor de nomes oficial do seu domínio, então sim, depois que os caches de DNS expirarem, o email será interrompido. Honestamente, a menos que você tenha razões significativas para isso, hospedar seu próprio DNS é uma idéia horrível, por esse motivo e muitas outras.
Mude para um host DNS de terceiros e isso não será um problema. Vai custar centavos e será muito mais confiável do que qualquer coisa que você poderia fazer sozinho.