Primeiro, você tem acesso WHM às duas máquinas? Se assim for, isso é trivial. O cPanel tem um recurso 'Copiar conta da máquina remota' que faz com que a máquina de destino conecte o SSH na máquina de origem, gere um backup e restaure-o. Funciona muito bem e deve ser o que você tenta primeiro.
Se não, você pode gerar um backup e copiá-lo para a nova máquina. Restaurar isso deve levar você a 99% do caminho até lá.
Se você não pode gerar / restaurar um backup, então você está preso fazendo as coisas do jeito manual. Isso envolve descarregar todos os seus dados (o MySQL é fácil, você pode ter que anotar coisas como endereços de e-mail / hostnames) e restaurá-los manualmente na nova máquina. Isso é menos do que ideal, e provavelmente levará muito tempo para ser feito (por exemplo, posso transferir mais de 500 contas em 6 horas por meio do recurso "Copiar conta", mas fazer um site semi-complexo manualmente pode levar 6 horas até em si).