LocalSystem é, obviamente, reconhecido apenas pelo SAM do sistema local. Por isso, claramente não pode ser autenticado por nenhum outro servidor.
Na verdade, você descartou a solução típica para problemas como este: alterar a conta na qual o serviço Apache é executado. Crie uma conta de serviço específica em seu domínio para ela (por exemplo, "ApacheServiceOnServer1" ), verifique se ela não está em nenhum grupo (nem mesmo 'usuários') e adicione uma ACL para ApacheServiceOnServer1 para os diretórios específicos para os quais ele precisa ler / gravar. Certifique-se de que a ACL tenha apenas as permissões exatas de que precisa - por exemplo, se não precisar excluir arquivos nesse diretório, não conceda essa priv. Preste atenção à herança também. Desta forma, você limita o acesso do serviço Apache a somente aquelas coisas exatas que ele precisa fazer.
Se o acima não é adequado para você, então você fica com duas opções:
1: Seu script (que grava em algum compartilhamento de rede) deve incluir uma etapa de autenticação, para que ele forneça creds reconhecidos pelo outro servidor.
2: Solte a segurança do compartilhamento no qual o script está sendo gravado, permitindo que o usuário "Todos" grave nele. Isso exigirá que você ative a conta "Convidado" no outro servidor.