Sua VM deve ter um IP público configurado; caso contrário, você precisará adicionar um. Você também precisa abrir a porta de entrada (80 para http ou 443 para https) no Grupo de Segurança de Rede do Azure (se estiver usando v2 Vm) ou serviço de nuvem (se estiver usando v1).
Uma vez feito isso, você deve conseguir resolver o site por endereço IP ou pelo nome DNS que o Azure fornece com o IP. Você pode adicionar um registro A ou um CNAME ao seu provedor de DNS para apontar seu URL personalizado para essa VM.