O problema está no seu script DBbackups.sh. Quando o cron roda, provavelmente não tem informação de caminho, certamente não aquela a que você está acostumado, pois ele não aparece a partir do seu shell de login, então você precisa dar caminhos absolutos. O DBbackups.sh deve ser algo como:
#!/bin/sh
BACKUPDIR="/backups"
MYSQLDUMP="/usr/local/mysql/bin/mysqldump"
GZIP="/bin/gzip"
DATE='date +%Y-%m-%d'
${MYSQLDUMP} --all-databases | ${GZIP} > ${BACKUPDIR}/dbbackup-${DATE}.sql.gz
NB: Como sempre, seus caminhos podem ser diferentes, verifique seus caminhos para gzip e mysqldump com
which mysqldump
which gzip