Eu estou supondo que eles não fornecem acesso RDP. Em caso afirmativo, a primeira coisa que eu faria é tentar executar o ping no sql server e tentar criar um DSN do sistema usando odbcad32 e verificar se o banco de dados está acessível independentemente do aplicativo.
Se o seu banco de dados não for a única ou a instância padrão no servidor SQL, talvez seja necessário especificar o nome da instância na string de conexão:
server=serverName\instanceName
É possível criar mais uma string de conexão para especificar tcp / ip e o número da porta do SQL:
tcp:servernameorIP\instanceName,1433
Outra técnica que pode ajudar a fornecer mais informações é executar alguns outros testes em seu global.asax.cs, independente do acesso ao banco de dados que usa o tring de conexões, como executar ping no sql server e tentar estabelecer um tcp simples conexão com o servidor SQL em 1433.