Ok, eu tenho algo que funciona.
Eu editei o /etc/tomcat6/policy.d/01system.policy e adicionei na parte inferior:
// Grant WebApps All Permission
grant codeBase "file:/var/lib/tomcat6/webapps/-" {
permission java.security.AllPermission;
};
Isso funciona agora, mas não tenho certeza se é a coisa certa a fazer.