Isso foi resolvido.
O Linux obviamente não joga exatamente pelas regras regulares da pilha TCP como as máquinas Windows.
Eu reiniciei o servidor Linux. Fiz um ping para um endereço IP que era problemático (x.x.249.76).
Um redirecionamento ICMP foi recebido do roteador (xx250.1) dizendo "Ei, você pode falar diretamente com xx249.76 e não precisa passar por mim). Imediatamente, uma vez recebida, as respostas do ping expiraram e saia.
O roteador é um roteador MicroTik e aposto que também é baseado no Linux.
Como essas quatro sub-redes estavam todas no mesmo roteador, o dispositivo MikroTik THOUGHT não precisava retransmitir as mensagens. Errado.
A solução foi atualizar o arquivo /etc/sysctl.d/10-network-security.conf e essas linhas foram adicionadas:
net.ipv4.conf.all.send_redirects = 0
net.ipv4.conf.default.send_redirects = 0
net.ipv4.conf.all.accept_redirects = 0
net.ipv6.conf.all.accept_redirects = 0
net.ipv4.conf.default.accept_redirects = 0
net.ipv6.conf.default.accept_redirects = 0
Isso disse ao meu servidor Linux para ignorar completamente quaisquer redirecionamentos ICMP.
O servidor foi reiniciado. Iniciando o ping x.x.249.76 e os avisos de redirecionamento ainda foram recebidos, mas foram ignorados e o servidor continuou a executar o ping com sucesso no endereço IP.