Acontece que a configuração do meu roteador estava incorreta. O servidor da Web nunca deveria ter sido 'publicamente' acessível. Foi o que me jogou. Depois de consertar isso, consegui conectar com confiança ao servidor. No entanto, por que eu consegui me conectar ao servidor antes da alteração da configuração estar além de mim. Acho que deve ter sido algo à parte do servidor Synology que permitia que minhas solicitações parecessem estar dentro da rede.
Todo este projeto foi do meu laboratório e parece que a nossa rede está bastante complicada. Tentando trabalhar em casa antes, não consegui acessar determinados recursos. Então, parece que o que eu estava me conectando no trabalho tinha vislumbres ocasionais da rede do servidor Synology. Por que isso foi periódico e por que isso aconteceu é um mistério para mim. Eles deveriam ter sido completamente separados. Se alguém puder fornecer uma explicação ou hipótese, eu estaria mais do que disposto a marcar sua resposta como correta sobre a minha.