Eu ainda não sei porque o PHP5-FPM parou de funcionar de repente, mas como o problema é que o PHP5-FPM não é capaz de criar diretórios em /var/run/ , uma solução é adicionar o comando
mkdir /var/run/php5-fpm/
para o arquivo /etc/init.d/php5-fpm na função do_start() .
Desta forma, quando o PHP5-FPM for iniciado, ele criará o diretório /var/run/php5-fpm/ .
Observação: /var/run está vinculado a /run/ , então /run/ pode funcionar no seu sistema também.