Para começar, você realmente precisa determinar quem e por que está fazendo tantas conexões, então você precisa se conectar ao ssh para verificar todos os logs relevantes (provavelmente em /var/log/mysql/error.log)
Se as conexões forem legítimas, você provavelmente precisará aumentar a diretiva max_connections
em /etc/my.cnf ou ver se você pode melhorar as consultas SQL enviadas ao servidor para que não restem muitas conexões aberto.
Se eles não são legítimos, você precisa endurecer a segurança com certeza.
Como você já estará logado com o ssh para verificar se os logs piscam as conexões do host local.