Obrigado pela sua resposta.
Finalmente descobri que esse comportamento é como especificado pelo firmware. Como parte de um modo à prova de falhas de inicialização, o firmware sempre assume 192.168.1.1 por aproximadamente 5 segundos antes de assumir o endereço IP programado. Durante esta breve janela, você pode criar um novo firmware no caso de acidentalmente bloquear o roteador. Seria necessário uma reescrita de nível muito baixo do firmware para alterar o padrão 192.168.1.1.
Eu nunca imaginei completamente porque os roteadores reiniciaram espontaneamente, mas eu acredito que seja a) muitos clientes ou muito tráfego b) clientes com um nível de sinal muito marginal.
De qualquer forma, estamos começando a substituir agora por equipamentos sem fio corporativos.