Is it possible to keep the Azure and local server synchronized with each commit
Claro, você pode usar ganchos pós-commit para executar svnsync
para sincronizar as alterações.
and both with read/write rights?
Uhm, não. O SVN não foi projetado para ser usado dessa maneira. Você precisará de um único repo master para o qual todos os commits são feitos. Este mestre pode ser sincronizado com qualquer número de escravos somente leitura, no entanto.