Alguém no Spiceworks me indicou a direção certa. Na ferramenta de programação do DB da Mitel, encontre cada telefone que precisa dessa funcionalidade e edite seus Flags dessa forma:
CO/IC Reseize = YES
Expanded CO Call Information On Displays = YES
Outside Party Call Information has Priority = NO
Isso nos leva o nome atribuído ao DID de entrada mostrado na parte superior da tela e as informações de identificação de chamadas na última linha (onde antes tínhamos CID nos dois locais).