Você pode tentar algo assim em um cron job
#!/bin/bash
wget -q --tries=10 --timeout=20 --spider http://google.com
dt=$(date +%Y%m%d_%H%M%S)
if [[ $? -eq 0 ]]; then
echo "$dt:Online"
else
echo "$dt:Offline"
mail -s "Internet connection lost on $(hostname) at $(date)"
fi