Bem, você tem duas interfaces de rede diferentes conectando a mesma sub-rede (192.168.1.0) usada por dispositivos não conectados diretamente (seu roteador de um lado e a LAN interna do outro lado).
Por isso, é normal que não esteja funcionando imediatamente.
Eth0 é a primeira interface listada e a rota padrão para o pacote enviado pelo seu computador, então todos os pacotes enviados para qualquer endereço 192.168.1.x serão enviados para esta interface, para o roteador.
A maneira mais fácil é usar apenas uma interface do seu sistema Linux, conectada ao mesmo hub / switch onde o roteador e os outros servidores estão conectados. Dessa forma, você ainda pode usar endereços 192.168.1.x em todos os lugares. O roteador deve ser o gateway padrão de todos os servidores.
Se você realmente quiser manter as coisas separadas (roteador de um lado e servidores do outro lado, sua máquina Linux atuando como um gateway intermediário), você terá que configurar duas sub-redes diferentes.
Vamos manter a eth0 como ela é agora (192.168.1.0 com a máscara de sub-rede 255.255.255.0).
Mas você terá que colocar a eth1 e todos os servidores em outra sub-rede, como 192.168.2.0 com máscara de sub-rede 255.255.255.0.
Se você fornecer 192.168.2.1 como endereço IP na eth1, esse endereço deverá ser configurado como o gateway padrão de todos os seus servidores internos.
Além disso, você terá que habilitar o encaminhamento de IP no Linux, o que você já fez.