Se você tiver inotify-tools instalados você pode usar inotifywait para desencadear uma ação se um arquivo ou o diretório é escrito para:
#!/bin/sh
dir1=/path/to/A/
while inotifywait -qqre modify "$dir1"; do
/run/backup/to/B
done
Quando o interruptor -qq é completamente silenciosa, -r é recursiva (se necessário) e -e é o evento para monitorar, neste caso modify . De man inotifywait :
modify
A watched file or a file within a watched directory was written to.