Se você tem uma máquina multi-core usando o pigz é muito mais rápido que o tradicional gzip.
pigz, which stands for parallel implementation of gzip, is a fully functional replacement for gzip that exploits multiple processors and multiple cores to the hilt when compressing data. pigz was written by Mark Adler, and uses the zlib and pthread libraries.
Pigz ca pode ser usado como substituto do gzip. Note que apenas a compressão pode ser paralelizada, não a descompressão.
Usando o pigz, a linha de comando se torna
mysqldump "$database_name" | pigz > $BACKUP_DIR/$database_name.sql.gz