@rob está certo. O GNOME é tecnicamente um projeto GNU oficial. No entanto, há muita história interessante.
Vamos reverter o relógio
É 1996. Não há ambientes de desktop. Usuários e administradores de sistemas montam ambientes a partir de uma miscelânea de programas. Diferentes gerenciadores de janela, aplicativos diferentes, talvez um dock. Existem dois principais kits de ferramentas no mercado: o Qt e o GTK +. O Qt já existia há algum tempo e era um produto comercial de uma empresa chamada Trolltech. O GTK + também esteve por aí por um bom tempo. Foi vagamente associado com a FSF, uma vez que foi originalmente escrito para uso no GIMP. Havia mais kits de ferramentas, como (por exemplo) Motif, mas para os propósitos desta discussão, não nos importamos com eles.
O Kool Desktop Environment, também conhecido como KDE, foi criado em outubro daquele ano em resposta ao fato de que não havia ambiente de desktop unificado para sistemas UNIX. (O projeto KDE descartou rapidamente o "Kool" em favor de apenas um "K" indefinido. Foi claramente uma boa escolha.) O criador do KDE, Matthias Ettrich, escolheu usar o Qt para seu novo desktop. Este foi um grande problema para a comunidade de software livre. Isso significava que, para usar o incrível desktop gratuito que Matthias havia criado, eles teriam que instalar software proprietário - Qt.
O que fazer?
A FSF respondeu com não um, mas dois projetos, ambos trabalhando em paralelo, apenas no caso de um deles não se concretizar. O primeiro foi um projeto chamado Harmony. Harmony foi concebido para ser um clone de Qt de software livre compatível com API, compatível com LGPL. A ideia era que a comunidade mantivesse o KDE, simplesmente substituindo o bit proprietário.
O projeto Harmony nunca deu certo. O desenvolvimento durou cerca de 4 anos antes de o Qt ser relicenciado em 2000 para ser um software totalmente livre (como definido pela FSF), eliminando assim a motivação original para o Harmony. Devido ao relicenciamento e ao sucesso do segundo projeto, o Harmony foi abandonado.
Aposto que você adivinhou qual foi o segundo projeto até agora. Foi o GNOME.
Amarrando tudo junto
Eu dei a história acima. Agora vamos amarrar tudo juntos em um bom nó.
Então, para responder à sua pergunta: sim, existe uma relação entre o GNU e o GNOME. O GNOME é o ambiente de desktop oficial do projeto GNU e é, portanto, um projeto GNU oficial e uma parte do sistema operacional GNU. Historicamente, foi criado pelo GNU em resposta à dependência do KDE em relação ao Qt. Na verdade, o G no GNOME significa GNU. O acrônimo completo expande para o ambiente de modelo de objeto da rede GNU - isso se refere a uma tecnologia que foi planejada mas nunca implementada, já que o projeto decidiu que "não se encaixava na visão central do GNOME".
Dito isso, o GNOME é um grande projeto agora. O GTK + é mantido pelo pessoal do GNOME hoje em dia, por exemplo, em vez de ser um projeto independente. É seguro dizer que o GNOME como uma entidade é independente do GNU, apesar de estar historica e tecnicamente relacionado. O GNOME tem sua própria infra-estrutura; sua própria comunidade; seus próprios processos de governança.
Como uma nota lateral, é também por isso que o GNOME e o KDE são rivais (amigáveis) hoje em dia. É porque em 1996, quando o KDE foi fundado, o GNOME foi criado com o propósito expresso de competir diretamente com o KDE. E essa rivalidade persistiu até o presente.