O script / etc / gdm / PostSession / Default é executado pela raiz sempre que alguém encerra sua sessão X. Você pode adicionar algo como
if [ ${USERNAME} = "myuser" ];then
su myuser -c /home/myuser/logout.sh
fi
antes da saída 0.
Em seguida, crie um arquivo /home/myuser/logout.sh, torne-o executável e adicione sua chamada rsync a ele.