Você não pode trazer o valor de uma variável de um subshell para seu pai, não sem fazer uma comunicação predisposta a erros e incômoda.
Felizmente, você não precisa de uma subshell aqui. O redirecionamento requer apenas o agrupamento de comandos com { … }
, não um subnível.
{ time -p response=$(curl --write-out '%{http_code}' --silent -O "${BASE_URL}/${report_code}"); } 2> "${report_code}.time"
(Não se esqueça de aspas duplas em torno das substituições de variáveis .