Uma vez eu tive um problema semelhante com uma partição não-LVM que resolvi movendo um dos diretórios para uma partição mais espaçosa e ligando-a novamente no lugar. No seu caso, por exemplo, você pode tentar:
mv /var/cache /more/spacious/partition/cache
ln -s /more/spacious/partition/cache /var/cache
Por favor, note que eu fiz isso com um diretório não-sistema e até agora não observaram efeitos colaterais ruins. O caso pode ser diferente com os diretórios do sistema, no entanto. Precisamos de alguém mais experiente para confirmar / refutar.
Editar
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Para ser mais seguro, você pode fazer
cp -a /var/cache /new/place/cache rm -rf /var/cache ln -s /new/place/cache /var/cache
Isso garante que você não perderá seu cache caso a chamada
mv
seja corrompida de alguma forma (falha do sistema, falta de energia, ...) -
Para garantir que nada esteja sendo gravado no diretório enquanto você o copia, é melhor fazer isso via LiveCD.