Parece que sua sintaxe está errada, pode ser por isso que não está funcionando como esperado.
De man rsync
--backup-dir=DIR
Portanto, deve ser assim e isso funciona para mim:
rsync -tbr --backup-dir=/tmp/rsyncTest/bkp/ /tmp/rsyncTest/src/ /tmp/rsyncTest/dst/
As opções --backup e --backup-dir só funcionam quando os arquivos foram alterados. Por exemplo, digamos que você tenha 3 arquivos no diretório src e já tenha sincronizado uma vez com esse comando rsync . Se você excluir um deles e, em seguida, recriá-lo e adicionar um monte de alterações ao arquivo e, em seguida, executar o comando rsync novamente, você notará que a cópia antiga que estava no diretório dst foi movida para sua --backup-dir e a nova cópia do diretório src foi movida para o seu dst . Se nenhuma alteração for detectada, nada será colocado no diretório bkp .