Pode ser feito, você precisa de substituição de processo. Redirecione os fluxos para um subprocesso que chame tee
e redirecione o restante para o arquivo sobrescrito.
exec &> >(tee -a backup.log > overwritten.log)
Observe que isso substituirá o arquivo apenas uma vez no script inteiro, porque o fluxo permanecerá aberto até o script sair ou outro redirecionamento ser estabelecido.