Não. Quando você lê e-mails via IMAP, o e-mail fica no servidor. O cliente apenas faz o download de mensagens individuais, conforme necessário, para exibi-las. Quando você marcá-lo, lê-lo ou movê-lo para uma pasta, o cliente apenas envia uma mensagem para o servidor pedindo para fazer isso.
Quando o fetchmail faz o download de uma cópia local, o que acontece com essa cópia não é refletido no lado do servidor.
Se você quiser que as coisas que você faz no seu e-mail sejam refletidas no servidor, você não deseja usar o fetchmail. Você quer um cliente de email habilitado para IMAP, dos quais existem muitos para o Linux. Parece que o único cliente Linux oficialmente suportado pelo Google é Thunderbird , mas outros clientes provavelmente também funcionarão.